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Als Binomial-Prozesse bezeichnet man eine spezielle Klasse von Punktprozessen in der Theorie der stochastischen Prozesse, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Binomial-Prozesse sind den Poisson-Prozessen ähnlich, jedoch ist die Anzahl der Ereignisse pro Intervall binomialverteilt und nicht Poisson-verteilt.

• Definition

• Bemerkung

• Eigenschaften

• Zugehöriger Sprungprozess

• Laplace-Transformierte

• Intensitätsmaß

• Verallgemeinerungen

• Literatur

Gegeben sei eine ganze Zahl n {\displaystyle n} und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P {\displaystyle P} auf einem Messraum ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} sowie n {\displaystyle n} unabhängig, identisch und gemäß P {\displaystyle P} verteilte Zufallsvariablen X 1 , X 2 , … … , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}} . Es gilt also X i ∼ ∼ P {\displaystyle X_{i}\sim P} für alle i {\displaystyle i} . Des Weiteren bezeichne δ δ x {\displaystyle \delta _{x}} das Dirac-Maß auf dem Punkt x {\displaystyle x} , also

δ δ x ( A ) := { 1 falls x ∈ ∈ A 0 sonst {\displaystyle \delta _{x}(A):={\begin{cases}1&{\text{ falls }}x\in A\ \\0&{\text{ sonst }}\end{cases}}}

für A ∈ ∈ B {\displaystyle A\in {\mathcal {B}}} .

Dann heißt das durch

ζ ζ := ∑ ∑ i = 1 n δ δ X i {\displaystyle \zeta :=\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}}}

definierte zufällige Maß ζ ζ {\displaystyle \zeta } auf ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} ein Binomial-Prozess.

Für jede messbare Menge A {\displaystyle A} gilt per Definition

ζ ζ ( A ) = # # { i ∣ ∣ X i ∈ ∈ A } {\displaystyle \zeta (A)=\#\{i\mid X_{i}\in A\}}

Hierbei bezeichnet # # M {\displaystyle \#M} die Mächtigkeit der Menge M {\displaystyle M} , also die Anzahl ihrer Elemente. Der Prozess zählt somit, wie viele der n {\displaystyle n} Zufallsvariablen Werte in der Menge A {\displaystyle A} annehmen. Somit ist für jede messbare Menge A {\displaystyle A} die Zufallsvariable ζ ζ ( A ) {\displaystyle \zeta (A)} immer binomialverteilt mit Parametern n {\displaystyle n} und P ( A ) {\displaystyle P(A)} , es gilt also

ζ ζ ( A ) ∼ ∼ Bin n , P ( A ) {\displaystyle \zeta (A)\sim \operatorname {Bin} _{n,P(A)}} .

Im reellen Fall, also für ( X , B ) = ( R , B ( R ) ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} ist der zum Punktprozess gehörende Sprungprozess gegeben durch

X t := ζ ζ ( ( − − ∞ ∞ , t ] ) = # # { i ∣ ∣ X i ≤ ≤ t } {\displaystyle X_{t}:=\zeta ((-\infty ,t])=\#\{i\mid X_{i}\leq t\}} .

Er gibt an, wie viele der Zufallsvariablen Werte kleinergleich t {\displaystyle t} annehmen.

Die Laplace-Transformation eines Binomial-Prozesses ist gegeben durch

L P , n ( f ) = [ ∫ ∫ exp ⁡ ⁡ ( − − f ( x ) ) P ( d x ) ] n {\displaystyle {\mathcal {L}}_{P,n}(f)=\left[\int \exp(-f(x))\mathrm {P} (dx)\right]^{n}}

für alle messbaren positiven Funktionen f {\displaystyle f} .

Das Intensitätsmaß E ζ ζ {\displaystyle \operatorname {E\zeta } } eines Binomial-Prozesses ζ ζ {\displaystyle \zeta } ist gegeben durch

E ζ ζ = n P {\displaystyle \operatorname {E\zeta } =nP} .

Eine Verallgemeinerung der Binomial-Prozesse sind gemischte Binomial-Prozesse. Dabei wird die bei Binomial-Prozessen deterministische Anzahl der Zufallsvariablen n {\displaystyle n} durch eine Zufallsvariable ersetzt.

• Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, doi:10.1007/978-3-319-41598-7.